Квантовая механика. Часть 1

Курс "Квантовая механика. Часть 1" читает доктор физико-математических наук, академик, заслуженный профессор МФТИ Семен Соломонович Герштейн. Одну лекцию читает доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики МФТИ Белоусов Юрий Михайлович. Курс рассчитан на студентов третьего курса технических ВУЗов.

В курсе расказывается об основных экспериментальных результатах, объяснение которых привело к созданию квантовой механики, излагаются ключевые аспекты и понятия квантовой механики, как основы современной физики и современного естествознания. Приводятся основные постулаты квантовой механики. Уравнение Шредингера выводится из постулатов квантовой механики и принципа соответствия. Подробно рассматриваются различные теории представления вектора состояния: координатное, импульсное, Гейзенберга, а также переход между этими представлениями. На основе импульсного представления разбираются основные свойства одномерного движения. Основательно излагается описание моделей свободной частицы, квантового осциллятора и атома водорода - основных моделей квантовой механики. Отдельно рассматриваются симметрии в квантовой механике и теория углового момента. Особое внимание уделяется математическому аппарату квантовой механики.

Курс содержит 16 лекций. Каждая лекция, помимо теоретических выводов, содержит применение теории к решению реальных практических задач (в том числе задач, которые были решены лектором). Для успешного освоения курса слушателю желательно знать основы интегрально-дифференциального исчисления, векторного и тензорного анализа, линейной алгебры, основ решения дифференциальных уравнений, теории вероятностей и теории специальных функций.

Вопросы экзаменационной программы

1. Физические явления, приведшие к появлению квантовой механики. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотезы Планка и Эйнштейна. Несовместимость интерференции с движением по классическим траекториям. Принцип суперпозиции состояний. Разности фаз между волнами и необходимости представления амплитуд вероятности комплексными числами.
2. Вектор состояния. Понятие бра и кет векторов (обозначения Дирака), эрмитово скалярное произведение и его свойства. Ортогональность собственных состояний, базис из собственных состояний. Линейные операторы, их матрицы и их произведение. Эрмитово сопряжённые операторы и их свойства. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы и их свойства.
3. Физические (наблюдаемые) величины и предъявляемые к ним требования. Соответствие между физическими величинами и эрмитовыми операторами.
4. 1. Полнота описания физической системы с помощью вектора состояний, нормировка (на единицу) в дискретном спектре.
   2. Сопоставление физической величине линейного эрмитового оператора.
   3. Представление вектора состояния системы в виде разложения по собственным состояниям физической величины и статистическая интерпретация коэффициентов разложения (амплитуд вероятности). Среднее значение физической величины. Дисперсия. Конфигурационное (координатное) представление. Волновая функция.
5. Эволюция вектора состояния со временем. Уравнение Шредингера в качестве постулата (IV) квантовой механики. Принцип соответствия, аналогия между классической механикой и геометрической оптикой. Гамильтониан системы и оператор обобщенного импульса частицы.
6. Нормировка волновых функций непрерывного спектра, плотность вероятности. Волновые пакеты.
7. Теория представлений. Необходимое и достаточное условие одновременной измеримости двух физических величин. Полный набор физических величин.
8. Одновременная (совместная) измеримость физических величин. Коммутатор и его свойства. Соотношение неопределенностей (в общем виде).
9. Импульсное представление. Класс функций, на котором оператор координаты является эрмитовым. Оператор координаты в импульсном представлении. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса.
10. Временное уравнение Шредингера, его обратимость по времени. Уравнение непрерывности и плотность потока вероятности.
11. Стационарные состояния и их свойства. Оператор эволюции для системы с независящим от времени гамильтонианом. Представление Гайзенберга. Представление взаимодействия.
12. Классическая и неклассическая области движения. Прохождение и отражение волн, Туннельный (подбарьерный) переход и надбарьерное отражение. Непрерывный и дискретный спектр. Осцилляционная теорема. Слабосвязанные состояния. Квазистационарные состояния. Движение в периодическом поле: оператор трансляции, зонный спектр.
13. Гамильтониан и уравнение Шредингера для осциллятора в конфигурационном представлении, осцилляторные единицы энергии, длины и импульса. Метод вторичного квантования (повышающий и понижающий операторы). Энергетический спектр осциллятора. Волновые функции осциллятора в конфигурационном представлении.
14. Оператор производной физической величины по времени, сохраняющиеся величины. Соотношение неопределенности энергия-время. Теоремы Эренфеста. Квантовая механика в представлении Гайзенберга. Связь коммутаторов и скобок Пуассона (альтернативная форма принципа соответствия, классический предел).
15. Симметрия гамильтониана, интеграл движения. Непрерывные преобразования (трансляция и повороты) и связи их с операторами импульса и момента импульса. Сохранение величин, не имеющих аналогов в классической механике при дискретных преобразованиях (сохранение пространственной, зарядовой и комбинированной чётности).
16. Правило коммутации между компонентами момента и произвольного вектора, коммутационные соотношения для операторов момента. Собственные векторы и собственные значения квадрата момента и одной из его проекций, повышающий и понижающий операторы момента импульса. Матричные элементы операторов повышающего, понижающего операторов и операторов проекции на все три оси. Операторы квадрата орбитального момента и его проекции на ось z в конфигурационном представлении, сферические функции.
17. Спин как внутренняя переменная, отвечающая «собственному вращению» частицы. Матрицы Паули, оператор вращения для частицы со спином 1/2 на конечный угол и спиноры. Уравнение Паули. Кватернионы.
18. Классическое движение в центральном поле. Полный набор коммутирующих операторов, разделение радиальных и угловых переменных в сферической системе координат, радиальное уравнение. Центробежный потенциал и следствия его существования. Разделение переменных в квантово-механической задаче двух тел.
19. Гамильтониан водородоподобного атома. Атомная система единиц, безразмерное уравнение шредингера в кулоновском поле. Асимптотика решения и общее решение. Энергетический спектр. Волновые функции стационарных состояний. Кратность вырождения уровней энергии атома водорода, инвариант Рунге—Ленца. Главное, радиальное и орбитальное квантовые числа. Кулоновское (случайное) вырождение уровней энергии.